0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

В чем состоит основная задача механики

§ 2.9. Основные задачи механики

Основная (прямая) задача механики

Основная задача механики состоит в нахождении положения и скорости тела в любой момент времени, если известны его положение и скорость в начальный момент времени и действующие на него силы.

Эта задача решается с помощью второго закона Ньютона — основного закона классической механики:

Его часто называют уравнением движения.

Так как ускорение и сила — величины векторные, то уравнение (2.9.1) фактически является компактной записью трех независимых уравнений:

где ах, ау, az — проекции вектора ускорения на оси координатной системы отсчета, a Fix, Fiy, Fiz — проекции векторов сил на те же оси. В случае движения на плоскости достаточно двух уравнений в проекциях, а в случае прямолинейного — одного.

Обычно нам бывают известны из опыта силы как функции координат и скоростей. Зная силы и массу, легко определить проекции ускорения с помощью уравнений (2.9.2).

Но ускорение, как вы знаете из кинематики, не определяет однозначно скорость тела и его координаты. Так, в случае постоянной проекции ускорения ах на ось X проекция скорости vx и координата х находятся из уравнений:

Таким образом, для определения проекции скорости в произвольный момент времени нужно знать проекцию начальной скорости v0x (проекцию в начальный момент времени t = 0), а для определения координаты требуется еще знание начальной координаты х.

Если же сила меняется с течением времени, то ускорение не остается постоянным. В этом случае формулы (2.9.3) и (2.9.4) уже не будут справедливыми для любого момента времени и зависимость координат и проекций скоростей от времени будет иметь гораздо более сложный вид. (Формулы (2.9.3) и (2.9.4) справедливы лишь для очень малых интервалов времени, в течение которых ускорение можно считать постоянным.)

Но по-прежнему для нахождения координат и проекций скоростей нужно знать начальные значения этих величин.

Расчет траектории космического корабля и его скорости в произвольный момент времени с учетом влияния как Земли, так и других планет — пример сложной задачи, решаемой с помощью электронных вычислительных машин. Необходимость использования ЭВМ связана еще и с тем, что космические корабли имеют большие скорости. Поэтому при коррекции траектории корабля необходимо обработать обширную информацию в очень короткое время.

Обратная задача механики

Кроме прямой задачи законы механики позволяют решать и обратную задачу. Она состоит в определении сил по известному или заданному движению, т. е. по зависимости координат, скоростей или ускорений от времени. Такую обратную задачу решил Ньютон, определяя силу тяготения по известным кинематическим законам движения планет (законам Кеплера). В настоящее время подобные задачи решаются при определении формы Земли и расположения в ней горных пород различной плотности посредством точного определения орбит спутников.

Часто приходится решать обратную задачу конструкторам: по заданному условиями работы движению деталей машины им приходится рассчитывать действующие на них силы. Это необходимо для правильного выбора материалов, формы и размеров деталей, обеспечивающих необходимую прочность.

Во многих случаях силы упругости в растянутых тросах можно определить по ускорению, сообщаемому ими телам, не прибегая к непосредственному измерению деформации тросов.

Зная массу тела и силу, можно определить ускорение в любой момент времени. По известному ускорению и начальной скорости можно найти скорость в любой момент времени. Зная скорость и начальные координаты, можно вычислить координаты в любой момент времени.

В чем состоит основная задача механики?

Дата публикации 07.02.2013 01:44

В развитии естествознания ведущую роль сыграла и до сих пор играет классическая механика, или механика Ньютона. В ее рамки укладывается объяснение множества физических явлений и процессов, проходящих в земных и внеземных условиях. Многие методы научных исследований сформированы именно на ее основе. Суть механистического мировоззрения, господствовавшего в науке практически до начала ХХ века, сводится к объяснению всех физических процессов движением и взаимодействием тел и частиц. То есть механика – это наука о движении тел.

Читать еще:  Как отключить семейный фильтр на компьютере

Концепция Ньютона, кратко выраженная Энштейном, гласила: физическая реальность определяется факторами времени, пространства, материальной точки и силой, т. е. взаимодействием материальных точек. Основная задача механики, таким образом, сводилась к изучению физических событий, под которыми понималось движение и взаимодействие в пространстве материальных точек, происходящее по неизменным законам.

В современной трактовке область применения классической механики – взаимодействие тел с относительно медленным движением (многократно меньше скорости света). «Классические» понятия пространства, времени, силы, массы и т. п. остались неизменными, основные законы механики действуют и не будут опровергнуты, пока существует наука.

Давайте вспомним главные понятия механики. Это механическое движение – так называется изменение положения данного тела по отношению к другим телам в пространстве и во времени (примером может служить движение транспорта, часовой стрелки, небесного тела, молекулы), относительность движения – тело движется относительно одних тел и может быть неподвижным относительно других. Пример – водитель автомобиля движется относительно пешеходов и неподвижен относительно корпуса машины. Поэтому существует понятие тела отсчета – так называется тело, относительно которого происходит движение.

Система координат определяет расположение тела или точки в пространстве. Движение может происходить по прямой, в плоскости или в пространстве. Соответственно изменяются одна, две или три его координаты. Основная задача механики сводится к определению координаты тела в определенный (любой) момент. При этом под координатой понимается расстояние от точки отсчета по соответствующей оси. Кроме того, следует учитывать, что движение осуществляется в определенном временном промежутке, т. е время является также одной из исходных величин.

Таким образом, систему отсчета, в которой решается основная задача механики, составляют система координат и часы. Любое движение происходит не само по себе, а относительно выбранной нами системы отсчета. Зная, как изменяется координата тела во времени, можем узнать положение данного тела (точки) в любой нужный нам момент.

Основная задача механики сводится, таким образом, к определению положения тела (его координаты) в любой нужный нам момент времени.

Каждое тело имеет свои определенные размеры. При поступательном движении все его точки движутся по одной траектории, и нет нужды описывать движение всех точек. Как же определить его координаты? В определенных условиях (если размеры тела многократно меньше проходимого им расстояния) его размерами можно пренебречь и считать тело материальной точкой. Например, при движении Земли по орбите наша планета может быть принята за материальную точку. При изучении же процессов, происходящих на поверхности Земли, ее никак нельзя считать таковой. Т. е. в механике под материальной точкой подразумевается тело, размерами которого можно пренебречь.

Путь – это расстояние, которое проходит точка вдоль траектории. Перемещение – вектор (направленный отрезок), соединяющий два положения тела, начальное и конечное.

Кроме того, движение не всегда бывает поступательным. Если части тела движутся по разным траекториям, такое движение можно рассматривать как вращение вокруг определенной оси. Любое движение в механике является совокупностью поступательных и вращательных движений.

В чем состоит основная задача механики

Основная задача, которую решает классическая механика, может быть сформулирована так: в начальный момент известны положения и скорости всех точек, образующих некоторую систему; заданы силы, действующие на все материальные точки этой системы; требуется определить движение точек системы для всех .

Говоря, что «силы заданы», иногда имеют в виду, что они заданы как функции времени, т. е. что заранее известно, как меняются во времени производные для всех точек;

чаще, однако, при этом имеют в виду, что для каждой точки зависит также от положения всех материальных точек в рассматриваемой системе отсчета или от их скорости относительно нее; тогда слова «силы заданы» означают, что силы заранее известны как функции не только времени, но и координат и скоростей точек системы.

Как уже указывалось в предыдущих параграфах, сила — результат сложных физических процессов, обусловливающих взаимодействие материальных объектов. Механика не изучает физическую природу этих взаимодействий. Поэтому силы как функции положений и скоростей материальных точек или тел в каждой конкретной механической задаче считаются известными — их определяют в иных дисциплинах.

В тех случаях, когда физическая природа взаимодействий не изучена, сила как функция координат и скоростей точек может быть все же определена в результате творческих обобщений результатов экспериментальных наблюдений. В исследованиях такого рода могут быть использованы методы механики — типичным примером служит открытие Ньютоном закона всемирного тяготения, однако основная задача механики как науки начинается только после того, как такая предварительная и, вообще говоря, выходящая за рамки механики работа проделана и сила задана как функция времени, координат точек системы и их скоростей.

Читать еще:  Какой процессор лучше для игр

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек, и выделим в ней точку. Все силы, действующие на эту точку в результате внутренних и внешних взаимодействий, можно заменить одной силой — их равнодействующей (см. § 4); в силу сказанного выше известна как функция t, координат всех точек системы и их скоростей:

Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона в некоторой инерциальной системе отсчета имеют место N равенств

где — радиус-вектор, пров ценный из начала координат к точке.

Проектируя эти равенства на оси координат, получаем

где — проекции указанных выше равнодействующих на оси х, у, z соответственно. Уравнения (28) образуют систему дифференциальных уравнений порядка , так как каждая точка вносит в эту систему три уравнения второго порядка. Эти дифференциальные уравнения называют иногда основными уравнениями динамики системы материальных точек.

Если известны положения и скорости всех точек системы в начальный момент

то решение основной задачи механики сводится к интегрированию основных уравнений динамики (28) при заданной системе начальных данных (29).

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29).

Поэтому все дальнейшее построение механики, ее цели и методы связаны с обходом или преодолением затруднений, обусловленных тем, что основные дифференциальные уравнения динамики систем не могут быть проинтегрированы в общем виде. Методы, которые используются в механике, чтобы преодолеть указанные трудности, могут быть кратко описаны так.

1° Механика тщательно собирает и изучает все те случаи, когда функциональные зависимости, выражающие силы, таковы, что дифференциальные уравнения (28) могут быть сведены к квадратурам и поэтому движения могут быть непосредственно изучены. Так, например, обстоит дело в таком важном случае, как движение материальной точки в поле тяготения какого-либо иного материального объекта. Однако уже в так называемой задаче трех тел, когда рассматривается система из трех материальных точек, движущихся под действием взаимного тяготения, дифференциальные уравнения вида (28) не решаются в общем виде и исследование движения становится значительно сложнее.

2° В тех случаях, когда нельзя найти решение системы дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, разрабатываются методы, позволяющие значительно упростить эти уравнения для последующего исследования, в частности понизить их порядок. Так, например, при изучении движения абсолютно твердого материального тела, состоящего из бесконечного количества точек, заполняющих некоторый объем, система дифференциальных уравнений вида (28) должна была бы состоять из бесконечного числа уравнений. Однако в механике установлены приемы, позволяющие полностью описать движение всех точек твердого тела с помощью только шести дифференциальных уравнений не выше второго порядка каждое.

3° В тех случаях, когда интегралы уравнений (28) не могут быть найдены даже при предельном упрощении этих уравнений методами механики, изучаются общие свойства решений этих уравнений без их непосредственного нахождения. Так, например, для случая, когда движение происходит в потенциальных полях, механика определяет многие общие свойства движений без того, чтобы доводить до конца задачу об определении самих движений.

4° Наконец, — и, по-видимому, этот прием является наиболее важным и чаще всего употребляемым — вводятся специально выбранные функции от координат точек и их скоростей и изучается зависимость этих функций от времени. В качестве таких функций используются, в частности, введенные выше меры движения — кинетическая энергия Т и количество движения Q системы. Во многих случаях оказывается, что для описания изменения этих функций во времени можно составить дифференциальные уравнения значительно более простые, чем основные дифференциальные уравнения динамики, так что изменение этих функций во времени исследуется гораздо проще. Так, например, можно установить условия, когда количество движения системы Q заведомо не меняется во время движения. В этом случае можно сразу выписать три равенства типа «заданная функция от координат и скоростей точек равна постоянной». Каждый раз, когда удается найти функции от координат точек и их скоростей, которые не изменяются во время движения системы, эти функции называются первыми интегралами дифференциальных уравнений движения.

Читать еще:  Как выбрать ремень для гитары

В механике указываются приемы нахождения таких первых интегралов, которые не только позволяют упростить уравнения движения, но и зачастую дают возможность довести решение задачи до конца. В качестве примера можно указать рассматриваемую ниже задачу о движении материальной точки в поле центральной силы.

Эти четыре основных приема используются механикой для вывода ее обших законов и для изучения некоторых часто встречающихся типов движения или важных классов динамических систем. Предполагается, что не только выполнены все исходные постулаты, о которых шла речь в § 2 этой главы, но что выполняются следующие дополнительные условия.

1° Рассмотрение ведется в инерциальной системе отсчета.

2° Рассматривается движение постоянной по составу системы материальных объектов, т. е. считается, что на протяжении всего движения система состоит из одних и тех же материальных объектов.

3° В пространстве «нет преград», т. е. ничто не препятствует ни одному из рассматриваемых материальных объектов (точек или тел) находиться в любом месте в любой момент времени.

Эти три условия выполняются далеко не всегда, и механика изучает методы, с помощью которых законы, полученные для систем, удовлетворяющих этим условиям, могут быть использованы и в тех случаях, когда какое-либо из этих условий не выполняется. Как мы уже видели выше, предположение о том, что время не зависит от пространства и материи и что пространство является евклидовым, однородным и изотропным, сделало невозможным рассматривать причины такого важнейшего явления материального мира, как взаимодействие материи, и заставило в рамках этой простой модели искать для описания взаимодействия «обходные пути» —ввести понятие о дальнодействии. Тот же прием используется в механике, если условия 1° — 3° не выполнены: помимо сил, возникающих при выполнении условий 1° — 3°, в этих случаях вводятся дополнительные силы, которые подбираются так, чтобы скомпенсировать нарушение условий 1° — 3° и распространить законы механики на случай, когда не все эти условия выполняются. Так, например, поступают в механике для того, чтобы распространить ее законы на случай, когда изучается движение относительно неинерциальных систем отсчета. Аналогичным образом изучается движение системы, материальный состав которой меняется во время движения. Этот же прием используется иногда и для исследования движений в тех случаях, когда в пространстве существуют ограничения, наложенные на координаты и (или) скорости материальных точек или тел, и требуется учесть эти ограничения.

Таким образом, методы механики позволяют не только сформулировать ряд общих теорем и законов, действующих в условиях, когда выполняются предположения 1° — 3°, но и — за счет введения дополнительных сил — использовать эти законы в условиях, когда предположения 1° — 3° не выполняются.

В любом случае, однако, предполагаются выполненными исходные предположения, сформулированные в § 2. Отход от этих предположений невозможен в пределах классической механики и приводит к построению иных систем механики. Такая ситуация возникает, например, при отказе от описанных выше представлений о пространстве и времени и от принципа относительности Галилея. Именно отказ от этих исходных представлений о времени и пространстве и предположение о том, что уравнения и законы механики должны быть инвариантны (или ковариантны) по отношению не к преобразованиям Галилея, а к иным преобразованиям — преобразованиям Лоренца, привели к появлению релятивистской механики. С этими исходными представлениями связаны ограничения, в пределах которых законы классической механики могут применяться при изучении движения объектов реального мира.

Источники:

http://tepka.ru/fizika_10/49.html
http://www.vigivanie.com/nauka/1648-mehanika.html
http://scask.ru/b_book_cm.php?id=13

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:

Adblock
detector