17 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как называют и обозначают треугольник

Содержание

Как называют и обозначают треугольник

Глава 2. Треугольники

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, равны ли они? Какими особыми свойствами обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема? На эти и многие другие вопросы вы найдёте ответы в данной главе.

§ 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки A , B , C , не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками AB , BC , CA . Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 108 зелёным цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками AB , BC и CA называют треугольником .

Точки A , B , C называют вершинами , а отрезки AB , BC , CA — сторонами треугольника.

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображённый на рисунке 108, обозначают так: ∆ ABC , или ∆ BCA , или ∆ ACB (читают: «треугольник ABC », «треугольник BCA », «треугольник ACB ») и т. д.

Углы BAC , ABC , BCA (рис. 109) называют углами треугольника ABC .

В треугольнике ABC (рис. 109), например, угол B называют углом , противолежащим стороне AC , углы A и C — углами , прилежащими к стороне AC , сторону AC — сто роной, противолежащей углу B , стороны AB и AC — сторонами, прилежащими к углу A .

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Периметр обозначают буквой P . Например, для периметра треугольника MNK используют обозначение P MNK .

Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые ( рис. 110, а ).

Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой ( рис. 110, б ).

Треугольник называют тупоугольным, если один из его углов тупой ( рис. 110, в ).

Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

На рисунке 111 изображены равные треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 . Записывают: ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1 . Эти треугольники можно совместить так, что вершины A и A 1 , B и B 1 , C и C 1 совпадут. Тогда можно записать: ∠ A = ∠ A 1 , ∠ B = ∠ B 1 , ∠ C = ∠ C 1 , AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , CA = C 1 A 1 .

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами . Так, например, на рисунке 111 стороны AC и A 1 C 1 , углы A и A 1 — соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством чёрточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг (рис. 111).

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны , и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы .

Основное свойство равенства треугольников

Для данного треугольника ABC и луча A 1 M существует треугольник A 1 B 1 C 1 , равный треугольнику ABC , такой, что AB = A 1 B 1 , BС = B 1 C 1 , AC = A 1 C 1 и сторона A 1 B 1 принадлежит лучу A 1 M , а вершина C 1 лежит в заданной полуплоскости относительно прямой A 1 M ( рис. 112 ).

Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Рассмотрим прямую a и не принадлежащую ей точку O . Предположим, что через точку O проходят две прямые OA и OB , перпендикулярные прямой a (рис. 113).

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник O 1 AB , равный треугольнику OAB (рис. 114). Тогда ∠ OAB = ∠ O 1 AB = 90°. Отсюда ∠ OAO 1 = 180°, а значит, точки O , A , O 1 лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки O , B , O 1 также лежат на одной прямой. Но тогда прямые OA и OB имеют две точки пересечения: O и O 1 . А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно. Тогда через точку О проходит одна прямая, перпендикулярная прямой а .

Читать еще:  В чём разница между любовью и влюблённостью

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее определение равных фигур.

Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

На рисунке 115 изображены равные фигуры Ф 1 и Ф 2 . Пишут: Ф 1 = Ф 2 .

Любые две прямые (два луча, две точки) равны.

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.

На рисунке 116 отрезки BB 1 и CC 1 — высоты треугольника ABC .

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.

На рисунке 117 отрезок AM — медиана треугольника ABC .

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

На рисунке 118 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC .

Каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон треугольника, противолежащих углам A , B , C , обозначают соответственно a , b , c . Длины высот обозначают h a , h b , h c , медиан — m a , m b , m c , биссектрис — l a , l b , l c . Индекс показывает, к какой стороне проведён отрезок (рис. 119).

  1. Как называют и обозначают треугольник?
  2. Что называют периметром треугольника?
  3. Какие существуют виды треугольников в зависимости от вида их углов?
  4. Какой треугольник называют прямоугольным? Тупоугольным? Остроугольным?
  5. Какие два треугольника называют равными?
  6. Как называют пары сторон и пары углов равных треугольников, которые совмещаются при наложении?
  7. Какие две фигуры называют равными?
  8. Что называют высотой треугольника?
  9. Что называют медианой треугольника?
  10. Что называют биссектрисой треугольника?
  11. Сколько у каждого треугольника высот? Медиан? Биссектрис?

132. Начертите треугольник:

Проведите из каждой вершины треугольника высоту.

133. Перерисуйте в тетрадь рисунок 120, проведите высоту, общую для трёх изображённых треугольников. У какого из них эта высота расположена вне треугольника?

134. Перерисуйте в тетрадь треугольники, изображённые на рисунке 121, проведите в каждом из них три высоты.

135. Начертите произвольный треугольник и проведите все его медианы.

Треугольник

Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, при этом три точки не лежат на одной прямой, а три отрезка попарно эти точки соединяют. Если быть точнее, то точки треугольника называются его вершинами, а отрезки – сторонами. Обозначается треугольник его вершинами, а вместо длинного слова треугольник рисуют символ Δ.

Давайте теперь подробнее рассмотрим разновидности треугольников.

  1. Равнобедренный треугольник – это такой треугольник, который имеет две одинаковые стороны, которые еще называют боковыми, третья сторона, отличная от тех двух, называется основанием.
  2. Равносторонний треугольник – треугольник с одинаковыми сторонами, также его иногда называют правильным треугольников.
  3. Прямоугольный треугольник – треугольник, который имеет прямой угол (90 градусов).
  4. Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90 градусов).
  5. Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (то есть больше 90 градусов).

В принципе запомнить особенности каждого из вида треугольников легко, так каких названия говорят сами за себя.

Возьмем, к примеру, треугольник АВС. А, В, С являются его вершинами, а АВ, ВС и АС -соответственно его стороны.

Теперь рассмотрим строение данного треугольника более подробно. Угол треугольника АВС при вершине А – это угол, который образовался полупрямыми АВ и АС. Аналогично мы можем определить углы, которые лежат при вершине В и при вершине С.

Высота треугольника – это перпендикуляр, который опускается из заданной вершины к прямой, которая противоположна вершине.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла данного треугольника, который соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне.

Медиана треугольника, которая проводится из заданной вершины, является отрезок, соединяющий данную вершину с серединой противоположной стороны треугольника.

Средняя линия треугольника – это отрезок, который соединяет середины двух сторон данного треугольника. К этому обозначению также есть определенная теорема, которая говорит о том, что средняя линия треугольника всегда параллельна третьей стороне, а также равна ее половине.

Все эти обозначения (медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника) обязательно понадобятся в решении практических задач. Скажем более того, без знания свойств этих вершин вы вряд ли сможете решить хоть какую-либо задачу, связанную с треугольниками.

Читать еще:  Что приготовить из свинины

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.

Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете.

Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике..

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

(по числу равных сторон)

Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).

Рассмотрим рис. ниже.

Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.

Угол Θ — называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ

(а+с+b) — периметр треугольника.

Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)

Сумма углов треугольника равна 180 ° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).

Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.

Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.

Признаки подобия треугольников:

  1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.

2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC 2 =AB 2 +AC 2 см. рис. выше.

Читать еще:  Как быстро собраться в стрессовой ситуации

Теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Основные линии треугольника.

Медиана.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан треугольника.

  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрисы угла треугольника

  1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на рис. выше AE:CE = AB:BC
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Свойства высот треугольника

  1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
  2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
  3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы площади треугольника

1.Произвольный треугольник — формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

  1. S=(1/2)*(a* ha) — по стороне и высоте.
  2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
  3. — по длинам сторон — формула площади Герона
  4. S=p*r — через периметр и радиус вписанной окружности
  5. S=(a*b*c) / (4R) — через длины сторон и радиус описанной оружности

Прямоугольный треугольник — площадь

a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.

Источники:

http://reader.lecta.rosuchebnik.ru/demo/8068/data/Chapter11.xhtml
http://mateshka.ru/matematika/treugolnik.html
http://tehtab.ru/guide/guidemathematics/perimsqvolgradrad/squaresofplainfigures/trianglesproporties/

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector