Гиперболические функции

Гиперболические функции – sh, ch, th, cth, sech, csch

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Гиперболический синус
sh x = (e x – e -x )/2

Гиперболический косинус
ch x = (e x + e -x )/2

Гиперболический тангенс
th x = (e x – e -x )/(e x + e -x )

Гиперболический котангенс
cth x = (e x + e -x )/(e x – e -x )

Гиперболический секанс
sech x = 2/(e x + e -x )

Гиперболический косеканс
csch x = 2/(e x – e -x )

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

cth x = 1/th x = ch x/sh x

ch 2 x – sh 2 x = 1

sech 2 x + th 2 x = 1

cth 2 x – csch 2 x = 1

ФУНКЦИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ АРГУМЕНТОВ

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y

th(x ± y) = (th x ± th y)/(1 ± th x.th y)

cth(x ± y) = (cth x cth y ± l)/(cth y ± cth x)

ФОРМУЛЫ ДВОЙНЫХ УГЛОВ

sh 2x = 2 sh x ch x

ch 2x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x – 1 = 1 + 2 sh 2 x

th 2x = (2th x)/(1 + th 2 x)

ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННЫХ УГЛОВ

$text frac <2>= pm sqrt x – 1><2>>$ [+ если x > 0, – если x 0, – если x 3 x

ch 3x = 4 ch 3 x – 3 ch x

th 3x = (3 th x + th 3 x)/(1 + 3 th 2 x)

sh 4x = 8 sh 3 x ch x + 4 sh x ch x

ch 4x = 8 ch 4 x – 8 ch 2 x + 1

th 4x = (4 th x + 4 th 3 x)/(1 + 6 th 2 x + th 4 x)

СТЕПЕНИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

sh 3 x = ¼sh 3x – ¾sh x

ch 3 x = ¼ch 3x + ¾ch x

sh 4 x = 3/8 – ½ch 2x + 1/8ch 4x

ch 4 x = 3/8 + ½ch 2x + 1/8ch 4x

СУММА, РАЗНИЦА И УМНОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

sh x + sh y = 2 sh ½(x + y) ch ½(x – y)

sh x – sh y = 2 ch ½(x + y) sh ½(x – y)

ch x + ch y = 2 ch ½(x + y) ch ½(x – y)

ch x – ch y = 2 sh ½(x + y) sh ½(x – y)

sh x sh y = ½(ch (x + y) – ch (x – y))

ch x ch y = ½(ch (x + y) + ch (x – y))

sh x ch y = ½(sh (x + y) + sh (x – y))

Читать еще: Почему вылетают игры на компьютере

ВЫРАЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛТЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ

В следующем мы принимаем, что x > 0. Если x -1 a называется обратным гиперболическим синусом of x. Аналогично определяются и другие обратные гиперболические функции. Обратные гиперболические функции являются многозначными, но в случае обратных тригонометрических функций мы ограничимся основными значениями, при которых их можно рассматривать как однозначные.

Ниже приведен список основных значений [если не указано иное] обратных гиперболических функций, выраженных через логарифмические функции, которые принимаются в качестве вещественных.

Учебник. Гиперболические функции

Функция sh x = e x – e – x 2 называется гиперболическим синусом. Функция ch x = e x + e – x 2 н азывается гиперболическим косинусом.

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.

Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–∞; 0) и возрастающей на промежутке (0; +∞) . Точка (0; 1) является минимумом этой функции.

Графики функций y = sh x и y = ch x

По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс: th x = sh x ch x , cth x = ch x sh x .

Тангенс определён на всей числовой оси, котангенс – при всех x ≠ 0 ( lim x → ± 0 cth x = ± ∞ ). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные асимптоты y = –1 ( при x → –∞) и y = 1 ( при x → +∞).

Графики функций y = th x и y = сth x

Приведём некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.

sh x + ch x = e x
ch 2 x – sh 2 x = 1 ch 2x = ch 2 x + sh 2 x sh 2x = 2 sh x ch x sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y

Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh x и arth x. У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch_– x при x ≤ 0 и arch₊ x при x ≥ 0.

Графики функций y = arsh x и y = arth x. Графики функции y = arch_– x и y = arch₊ x.

В заключение приведём формулы для обратных гиперболических функций: arsh x = ln x + 1 + x 2 , x ∈ ℝ arth x = 1 2 ln 1 + x 1 – x , |x| arch – x = ln x – x 2 – 1 , x ≥ 1, arch + x = ln x + x 2 – 1 , x ≥ 1.

Введение

В математике и её приложениях к естествознанию и технике находят широкое применение показательные функции. Это, в частности, объясняется тем , что многие изучаемые в естествознании явления относятся к числу так называемых процессов органического роста, в которых скорости изменения участвующих в них функций пропорциональны величинам самих функций.

Если обозначить через функцию, а через аргумент, то дифференциальный закон процесса органического роста может быть записан в виде где некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.

Интегрирование этого уравнения приводит к общему решению в виде показательной функции

Если задать начальное условие при , то можно определить произвольную постоянную и, таким образом, найти частное решение которое представляет собой интегральный закон рассматриваемого процесса.

К процессам органического роста относятся при некоторых упрощающих предположениях такие явления, как, например, изменение атмосферного давления в зависимости от высоты над поверхностью Земли, радиоактивный распад, охлаждение или нагревание тела в окружающей среде постоянной температуры, унимолекулярная химическая реакция (например, растворение вещества в воде), при которой имеет место закон действия масс ( скорость реакции пропорциональна наличному количеству реагирующего вещества ), размножение микроорганизмов и многие другие.

Возрастание денежной суммы вследствие начисления на неё сложных процентов (проценты на проценты) также представляет собой процесс органического роста.

Эти примеры можно было бы продолжать.

Наряду с отдельными показательными функциями в математике и её приложениях находят применение различные комбинации показательных функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные комбинации функций и так называемые гиперболические функции. Этих функций шесть, для них введены следующие специальные наименования и обозначения:

Возникает вопрос, почему даны именно такие названия, причём здесь гипербола и известные из тригонометрии названия функций: синус, косинус, и т. д.? Оказывается, что соотношения, связывающие тригонометрические функции с координатами точек окружности единичного радиуса, аналогичны соотношениям, связывающим гиперболические функции с координатами точек равносторонней гиперболы с единичной полуосью. Этим как раз и оправдывается наименование гиперболических функций.

Гиперболические функции

Функции, заданные формулами называют соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Эти функции определены и непрерывны на , причем – четная функция, а – нечетная функция.

Рисунок 1.1 – Графики функций

Из определения гиперболических функций и следует, что:

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

Функция определена и непрерывна на , а функция определена и непрерывна на множестве с выколотой точкой ; обе функции – нечетные, их графики представлены на рисунках ниже.

Рисунок 1.2 – График функции

Рисунок 1.3 – График функции

Можно показать, что функции и – строго возрастающие, а функция – строго убывающая. Поэтому указанные функции обратимы. Обозначим обратные к ним функции соответственно через .

Рассмотрим функцию, обратную к функции , т.е. функцию . Выразим ее через элементарные. Решая уравнение относительно , получаем Так как , то , откуда

Заменяя на , а на , находим формулу для функции, обратной для гиперболического синуса:

Замечание. Название “гиперболические функции” объясняется тем, что уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения гиперболы . Параметр в уравнениях гиперболы равен удвоенной площади гиперболического сектора. Это отражено в обозначениях и названиях обратных гиперболических функций, где частица есть сокращение латинского (и английского) слова “” – площадь.

Упражнение. Доказать формулы: